Python NumPy 线性代数

1、矩阵和向量积

矩阵和向量积可以用 numpy.dot() 函数来计算。numpy.dot() 函数的两个参数分别是矩阵和向量。

1）矩阵积

矩阵积是两个矩阵相乘的结果。矩阵积的计算方法是将矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列相乘，然后将各个相乘结果相加。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

C = np.dot(A, B)

print(C)

2）向量积

向量积是两个向量相乘的结果。向量积的计算方法是将两个向量的每一维度相乘，然后将各个相乘结果相加。

import numpy as np

a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])

c = np.dot(a, b)

print(c)

2、矩阵特征值与特征向量

在线性代数中，特征值和特征向量是矩阵的一个重要概念。特征值是矩阵可以对其乘法的标量，而特征向量是特征值对应的向量。Python NumPy 提供了 numpy.linalg.eig() 函数来计算矩阵的特征值和特征向量。numpy.linalg.eig() 函数的返回值是一个元组，第一个元素是特征值，第二个元素是特征向量。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

w, v = np.linalg.eig(A)

print(w)
print(v)

3、矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为多个矩阵的一种方法。矩阵分解有许多种不同的方法，每种方法都有其不同的应用。

1）奇异值分解

NumPy 提供了 numpy.linalg.svd() 函数来实现奇异值分解。numpy.linalg.svd() 函数的返回值是一个元组，第一个元素是奇异值矩阵，第二个元素是左奇异向量矩阵，第三个元素是右奇异向量矩阵。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

U, Σ, V = np.linalg.svd(A)

print(U)
print(Σ)
print(V)

2）QR分解

QR 分解是将矩阵分解为两个矩阵的一种方法，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个矩阵是上三角矩阵。NumPy 提供了 numpy.linalg.qr() 函数来实现 QR 分解。numpy.linalg.qr() 函数的返回值是一个元组，第一个元素是正交矩阵，第二个元素是上三角矩阵。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

Q, R = np.linalg.qr(A)

print(Q)
print(R)

3）Cholesky分解

Cholesky 分解是将对称正定的矩阵分解为两个下三角矩阵的一种方法。NumPy 提供了 numpy.linalg.cholesky() 函数来实现 Cholesky 分解。numpy.linalg.cholesky() 函数的返回值是一个矩阵，即下三角矩阵 L。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 5]])

L = np.linalg.cholesky(A)

print(L)

4、矩阵的范数

在线性代数中，范数是用来衡量向量或矩阵大小的一种方法。范数有许多种不同的定义，每种定义都有其不同的意义。NumPy 中矩阵范数的使用非常简单，只需调用相应的函数即可。numpy.linalg.norm(x, ord=None)，ord 参数用于指定范数类型

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 5, 8],
              [1, 3, 5, 7], [3, 4, 7, 11]])

print(A)

print(np.linalg.norm(A, ord=1))  # 30.0
print(np.max(np.sum(A, axis=0)))  # 30

print(np.linalg.norm(A, ord=2))  
# 20.24345358700576
print(np.max(np.linalg.svd(A, compute_uv=False)))  
# 20.24345358700576

print(np.linalg.norm(A, ord=np.inf))  # 25.0
print(np.max(np.sum(A, axis=1)))  # 25

print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))  
# 20.273134932713294
print(np.sqrt(np.trace(np.dot(A.T, A))))  
# 20.273134932713294

5、方阵的行列式

在线性代数中，行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用于计算矩阵的特征值、逆矩阵等。NumPy 提供了 numpy.linalg.det() 函数来计算矩阵的行列式。numpy.linalg.det() 函数的参数是一个矩阵，返回值是矩阵的行列式。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

print(np.linalg.det(A))

6、矩阵的秩

在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关列向量的最大个数。矩阵的秩可以用于判断矩阵是否可逆、是否满秩等。NumPy 提供了 numpy.linalg.matrix_rank() 函数来计算矩阵的秩。numpy.linalg.matrix_rank() 函数的参数是一个矩阵，返回值是矩阵的秩。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

rank = np.linalg.matrix_rank(A)

print(rank)

7、矩阵的迹

在线性代数中，迹是指矩阵对角线元素之和。矩阵的迹可以用于计算矩阵的一些特征值、特征向量等。NumPy 提供了 numpy.trace() 函数来计算矩阵的迹。numpy.trace() 函数的参数是一个矩阵，返回值是矩阵的迹。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

trace = np.trace(A)

print(trace)

8、逆矩阵

在线性代数中，逆矩阵是指与原矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。矩阵的逆矩阵可以用于求解线性方程组、计算矩阵的特征值等。NumPy 提供了 numpy.linalg.inv() 函数来计算矩阵的逆矩阵。numpy.linalg.inv() 函数的参数是一个矩阵，返回值是矩阵的逆矩阵。

代码如下，

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

inv_A = np.linalg.inv(A)

print(inv_A)

9、求解线性方程组

在线性代数中，线性方程组是指由一个或多个未知数和多个线性方程组成的方程组。线性方程组的解就是满足所有方程的未知数组成的向量。NumPy 提供了 numpy.linalg.solve() 函数来求解线性方程组。numpy.linalg.solve() 函数的参数是系数矩阵和常数向量，返回值是解向量。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([5, 6])

x = np.linalg.solve(A, b)

print(x)